[ Tilbage til hovedsiden ]

Vanskelige ligninger

Disse projekter handler om at løse "umulige" ligninger.

Snoren om jorden

En klassiker fra den matematiske folklore er opgaven om en snor, der er lagt stramt om jorden langs ækvator. Hvis snoren forlænges med 1 m, kan den hæves et stykke over jorden hele vejen rundt. Hvor mange cm?

Svar her og klik uden for boksen. Dit svar er

Det følgende er en variant, hvor vi forestiller os, at den forlængede snor strammes op på en pæl, så den kun følger ækvator et stykke. Hvor høj er pælen, hvis jordens radius er r = 6380 km?

På figuren er pælen BP = h, og snoren følger jorden, indtil den slipper i A og det symmetrisk punkt.
Trekant CAP har en ret vinkel i A, så (r + h) · cos(v) = r, hvoraf h · cos(v) = r · (1 – cos(v)) eller

Desuden er AP = r tan(v), og buen AB = r · v, hvis v måles i radianer.

Forskellen mellem AP og buen AB er halvdelen af snoren forlængelse, altså

Denne ligning kan ikke løses præsist, så vi griber til TI83.

  1. Gå til Y= og læg funktionen 2*6380000(tan(x)–x)–1 i y1
  2. Plot i vinduet [0; 0.01] x [–1; 1]
  3. Vi ser, at funktionen er = 0 for v @ 0.006, så vi går til CALC - zero
  4. Med pilene steppes til et punkt til venstre for roden, ENTER, step til et punkt til højre for roden, ENTER, step lidt tilbage, ENTER, og roden er ca. v = 0.00617193 radianer
  5. h beregnes af h = 6380000(1/cos(0.00617193)-1) til 121.518 m. Overrasket?

Ë Regnemaskinen beregner værdier af funktionen f(r, v) = 2r · (tan(v) – v).
Ændr r eller v (i radianer) og klik uden for boksen.

r = og v = giver f(r, v) = og h =

Geden græsser en cirkulær mark

Vi har en cirkulær mark og en ged i et tøjr. I tøjerets ene end er geden, i den anden en pløk, som er banket ned i punktet A på periferien af marken. Hvor langt er tøjret, hvis geden kan græsse præcis halvdelen af marken?

Vi sætter markens radius til 1 og tøjrets længde til r.

De trekant ABC er ligebenet (CA = CB), er cos(v) = r/2 og vinkel C = 180° – 2v.

Vi får brug for formlen for arealet af et cirkelafsnit = r2/2 (v – sin(v)), hvor cirklens radius er r og udsnittets vinkel er v.

Markens areal er p og geden græsser et område, som består af to cirkelafsnit, der mødes i linien gennem B vinkelret på AC. De to afsnit har vinklerne 2 · (180° – 2v) = 2 p – 4v og 2v, altså

fordi vi har set, at r = 2 cos(v). Men denne ligning kan ikke løses !

Hvad gør man så? Man griber sin TI83 og

  1. Læg funktionen 2p – 4v + sin(4v) + 4 cos2(v)(2v – sin(2v)) – p i Y1.
  2. Plot grafen med ZOOM - ZDecimal
  3. Gå til CALC - zero
  4. Step med pilene til et punkt til venstre for den søgte skæring ENTER o.s.v.
  5. Den søgte vinkel er v = 0.952848 radianer
  6. Tøjrets længde er r = 2 cos(v) = 1.1587 gange markens radius

[ Toppen af siden ]