[ Tilbage til hovedsiden ]

Talsystemer

Vi må vænne os til, at den samme talstørrelse kan skrives på forskellige måder. F.eks. betyder romertallet XXIII og arabertallet 23 det samme. I modsætning til romertal er arabernes talssystem et positionssystem.

Emner

• Positionssystemer
• Det binære talsystem (2-tal systemet)
• På grafregneren

Positionssystemer

Mennesket er udstyret med 10 fingre, hvilket slår igennem i vor måde at skrive tal.
Nå vi skriver f.eks. tallet 23, er det underforstået, at vi mener 2 · 10 + 3, idet vi lægger 10 - tal systemet til grund. Det hænger sammen med, at vi udtrykker tal ved hjælp af de 10 talsymboler 0, 1, ... , 9. Når vi kan nøjes med dem, skyldes det, at et ciffer f.eks. 2 kan betyde 2, 20, 200, o.s.v. alt efter, hvor det står i tallet. Vort sædvanlige talsystem har grundtallet g = 10.
Tallet a_na_n–1 ... a₁a₀ betyder altså a_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + ... + a₁10¹ + a₀.
Det er let at se hvordan systemet udvides til at omfatte decimalbrøker.
Kan der være tvivl om, hvilket system, man er i, bruger vi skrivemåden (23)₁₀.

Vi er så vant til 10 - tal systemet, at vi kan tro, det er det eneste, men sproget indeholder faktisk rester af andre systemer:
Kl. halv syv skrives 6 30 eller 6 timer 30 minutter, hvilket betyder (6 30)₆₀ = (6.5)₁₀. Vi slæber til denne dag rundt på et treethalvttusind år gammelt babylonsk 60-tal system. (Minut er latin for "lille" og sekund betyder "den anden").
Talordet "halvtreds" betyder "halvtredie snese", hvilket er gammelt dansk for "to en halv gange tyve". Vi ser her rester af et gammelt nordisk talsystem med grundtallet 20. Mon man dengang gik med bare tæer ?

Tallet (a_na_n–1 ... a₁a₀)_g betyder a_ngⁿ + a_n–1g^n–1 + ... + a₁g¹ + a₀.

[ Toppen af siden ]

Det binære talsystem (2-tal systemet)

I 1679 beskrev matematikeren Leibnitz (ham med differentialregningen) et talsystem med kun to symboler 0 og 1. Det kaldes det binære system, og det spiller en stor rolle i computer science.

I det binære system er regnereglerne

+ ¾ 0 1 ½ ½ ½ ½ 0 ¾ 0 1 1 ¾ 1 10

· ¾ 0 1

½ ½ ½ ½

0 ¾ 0 0

1 ¾ 0 1

,

idet (10)₂ = (2)₁₀. Vi ser, at regnereglerne er simple. Til gengæld er tallene lange (i gennemsnit godt 3 gange så lange som i 10-tal systemet).

Ë Denne regnemaskine regner om fra 10-tal sytemet til g-tal systemet.
Ændr grundtallet g eller tallet Tal₁₀ og klik uden for boksen.

Ë Denne regnemaskine regner om fra g-tal sytemet til 10-tal systemet.
Ændr grundtallet g eller tallet Tal₁₀ og klik uden for boksen.

[ Toppen af siden ]

På grafregneren

Fra g-tal systemet til 10-tal systemet.
For at få grafregneren til at omsætte f.eks. 111101 fra f.eks 2-tal systemet til 10-tal systemet, går vi frem på følgende måde.

Først lægger vi værdier i variable 111101 ® B:2 ® G:1 ® H:0 ® S.Ideen er at klippe ciffer for ciffer af B fra højre, omregne til 10-tal systemet og addere resultaterne i S.

Herefter fyrer vi den anden kommandosekvens indtil det binære tal i B er tømt. Den virker på følgende måde

1. iPart (i MATH - NUM) danner heldelen af B/10 d.v.s. tallet på nær højreste ciffer. Tallet opbevares midlertidigt i M.
2. B – 10M beregner værdien (i g-tal systemet) af det afklippede ciffer. Det ganges med H for at omregne til 10-tal systemet, og resultatet lægges til S. H er 1 ved første kørsel.
3. H ganges med G, så værdien er klar til næste kørsel.
4. B's nye værdi er M.
5. For at få udskrevet både B og S lægger vi de to tal i en liste.

Kommandesekvensen fyres et antal gange, indtil B er 0 (hele det binære tal er omsat).

For at køre en ny talomsætning tastes ENTRY indtil første kommandosekvens kommer frem. Den rettes, fyres og derefter ENTRY indtil anden sekvens kommer frem o.s.v.

Fra 10-tal systemet til g-tal systemet.
For at få grafregneren til at omsætte f.eks. 61 fra f.eks 10-tal systemet til 3-tal systemet, går vi frem på følgende måde.

Først lægger vi værdier i variable 61 ® T:3 ® G:0 ® E:0 ® S.Ideen er at dividere T med G et antal gange og beholde divisionsresterne. Resterne udgør cifrene i S.

Herefter fyrer vi den anden kommandosekvens indtil tallet i T er tømt. Den virker på følgende måde

1. iPart (i MATH - NUM) danner heldelen af T/G. Tallet opbevares midlertidigt i M.
2. T – MG beregner resten ved divisionen. Det ganges med 10^E for at placere det rigtigt i g-tal systemet, og resultatet lægges til S. E er 0 ved første kørsel.
3. E øges med 1, så værdien er klar til næste kørsel.
4. T's nye værdi er M.
5. For at få udskrevet både T og S lægger vi de to tal i en liste.

Kommandesekvensen fyres et antal gange, indtil T er 0 (hele det tallet er omsat).

For at køre en ny talomsætning tastes ENTRY indtil første kommandosekvens kommer frem. Den rettes, fyres og derefter ENTRY indtil anden sekvens kommer frem o.s.v.

[ Toppen af siden ]