[ Tilbage til hovedsiden ]

Kepler - bevægelser

I dette projekt ser vi på to partikler med masserne M og m , som påvirker hinanden med en massetiltrækning, der er proportional med masserne og omvendt proportional med kvadratet på afstanden r mellem partiklerne.

Vi tænker os, at M er meget større end m og lægger koordinatsystemets begyndelsespunkt i M.

Af ensvinklede trekanter ser vi, at

hvor fortegnet skyldes, at hvis x er positiv, peger Fx modsat x-aksen.
Newtons 2. lov i to koordinater er

Sammenholder vi de to kraftudtryk, finder vi

Vi tænker os bevægelsen delt op i "små" tidsintervaller og har

og tilsvarende for andenkoordinaten.

Starter vi planeten i (a, b) med hastigheden (u, v), vil accelerationerne være proportionale med

Det vil sige, at hastigheden ændrer sig i et lille tidsrum med accelerationen gange T . Planetens nye hastighed findes ved at lægge

til den gamle hastighedsvektor. Det nye sted findes ved at lægge hastigheden gange T til de gamle stedkoordinater.

Vi begynder med at rense grafikskærmen og starter planeten i (2, 0) med hastigheden (0, 0.5) og går frem i skridt af T = 0.3.
Det sker ved at fyre den første kommandosekvens.
Så renses grafikskærmen med ClrDraw.

I den anden sekvens beregnes først hastighedsændringens Ddel. Så beregnes de nye hastighedskomponenter og endelig beregnes og plottes planetens nye sted.
Det viste billede fremkommer, når man skiftevis fyrer sekvensen og taster QUIT.
Vi ser en ellipseformet banekurve. Når planeten er langt væk fra solen, ligger prikkerne tæt. D.v.s. hastigheden er lille i overensstemmelse med arealhastigheds-sætningen.
Ved at taste ENTRY et par gange kan vi få første kommandosekvens frem til redigering, og vi starter planeten med lidt større fart ved at ændre V til 0.6, derefter 0.7 og 0.8.

Opgave. Prøv selv at ændre startbetingelserne og se, hvad der sker. Men pas på ikke at komme for tæt på solen. Så bliver accelerationen nemlig så stor, at denne grove metode bryder sammen.

Appendix. Rutherfords a-guld stød.
I begyndelsen af 1900-tallet udførte den engelske fysiker Ernest Rutherford en række berømte eksperimenter, hvor han beskød et guld-folie med a-partikler. Til sin overraskelse så han, at nogle af a-partiklerne blev kastet tilbage mod kilden. Hans konklusion var, at guld-atomerne måtte indeholde en positiv "kerne", hvor man tidligere havde forestillet sig, at de positive og negative ladninger var fordelt nogentlunde jævnt over hele atomets rumfang.
Sålede opfattet kan systemet sammenlignes med sol-planet systemet, blot er kraften frastødende. I stedet for Newtons gravitationslov skal vi anvende Coulombs lov

Vi kan simulere dette tilfælde ved at gå frem som i Keplertilfældet, når vi blot ændrer tiltrækning til frastødning. Starter vi partiklen i (4, 0.5) med hastigheden (-2, 0), fås det viste forløb.

[ Toppen af siden ]