[ Tilbage til hovedsiden ]

Grænseværdi

Begrebet grænseværdi er først sent (ca.1600) kommet ind i kulturhistorien. Man følte et behov for at kunne tale om en funtion "i nærheden" af et punkt (f.eks. fordi funktionen ikke var defineret i selve punktet). Kernen i begrebet er det lidt luftige "tæt ved", som man symboliserer ved en pil "®". x ® x₀ betyder altså, at x ligger tæt ved men er forskellig fra x₀.

Bliv ikke forvirret af, at TI83 bruger pile-symbolet for STORE (gem).

Emner

• x ® x₀
• x ® ¥

x ® x₀

Vi vil undersøge funktionerne

f(x) =

x3 – 4x2 + 5x – 1 x2 – 2x + 1

og   g(x) =

x3 – 4x2 + 5x – 2 x2 – 2x + 1

,   Dm(f) = Dm(g) = R \ {1} .

Som det første skridt plotter vi de to funktioners grafer med ZOOM - ZDecimal. (bemærk hullet i grafen for g) og ZOOM - ZStandard. Vi ser, at de to grafer "i det lange løb" forløber ens, men i nærheden af x = 1 (hvor de ikke er definerede), er de forskellige.

Da vi ikke kan undersøge funktionerne i selve punktet x = 1, må vi nøjes med at se på punkter i nærheden altså x ® 1. Det kunne ske ved at zoom ind på et lille område omkring det kritiske punkt.

I stedet vælger vi at beregne funktionsværdier for x tæt ved 1.

1. Gå til Y= og læg funktionernes regneforskrifter i Y1 og Y2. Husk parenteser!.
2. Læg x-værdier i L1 med kommandoen {0.9, 0.99, 0.999, 1.001, 1.01, 1.1} ® L1.
3. Læg de tilsvarende f-værdier i L2 med kommandoen Y1(L1) ® L2, hvor Y1 findes i VARS - Y-VARS - Function.
4. Læg de tilsvarende g-værdier i L3 med kommandoen Y2(L1) ® L3.
5. Listerne inspiceres med STAT - EDIT.

Noget tyder på at

f(x) ® ¥   for   x ® 1   og   g(x) ® –1   for   x ® 1.

Det sidste resultat formuleres ofte på følgende måde

Linien med ligningen   x = 1   er lodret asymptote til grafen for   f.

x ® ¥

Grafen for   g   kunne tyde på, at linien   y = x – 2   er skrå aymptote til grafen for   g .

1. Gå til Y= og læg regneforskrifterne for f og x – 2 i Y1 og Y2. Husk parenteser!.
2. Læg Y1 – Y2 i Y3.
3. Læg x-værdier i L1 med kommandoen {10, 100, 1000, 10000, 100000} ® L1.
4. Læg de tilsvarende f-værdier i L2 med kommandoen Y1(L1) ® L2, hvor Y1 findes i VARS - Y-VARS - Function.
5. Læg de tilsvarende f(x) – (x – 2)-værdier i L3 med kommandoen Y3(L1) ® L3.
6. Listerne inspiceres med STAT - EDIT.

Noget tyder på at

g(x) – (x – 2) ® 0   for   x ® ¥

Ë Beregningerne kan også foretages i denne regnemaskine.
Ændr x og klik uden for boksen.

.

[ Toppen af siden ]