Matematik for sjov

  • Et omvalgsproblem
  • Et andet omvalgsproblem
  • Fire myrer på et bord
  • Kamæleoner
  • Fåret og ulven
  • Et omvalgsproblem

    Biler og geder

    Under et talkshow trækker værten på et tidspunkt et gardin til side og afslører en væg med tre døre. Han fortæller, at der bag to af dørene er en ged og bag den tredie en bil.

    Du bliver udvalgt blandt publikum til at pege på en dør. Men inden du åbner døren til din gevinst, åbner værten en af de andre døre og afslører en ged.

    Nu spørger værten dig, om du vil vælge om. Hvad svarer du ?

    [ Hovedmenu ]

    Et andet omvalgsproblem

    To konvolutter

    To konvolutter indeholder penge; den ene dobbelt så mange som den anden. Du får lov at vælge èn, åbner den og finder f.eks.100 kr. På spørgsmålet om du vil vælge om, tænker du måske: "Den anden indeholder enten 50 eller 200 kr - i middel 125 kr" og vælger om.

    Indeholdt den først valgte konvolut 500 kr, får et tilsvarende argument dig igen til at vælge om.

    Allerede inden du ser indholdet af konvolutten, beslutter du dig for den anden konvolut ! Eller hvad ?

    [ Hovedmenu ]

    Fire myrer på et bord

    I hvert sit hjørne af et kvadratisk bord med side 1 m sidder en myre. Hver myre ser på sin "forgænger".

    På et bestemt tidspunkt begynder alle myrene at gå mod deres "forgængere" med samme fart. Efter et stykke tid mødes de midt på bordet.

    Hvor langt har en myre gået, inden de mødes ?

    [ Hovedmenu ]

    Kamæleoner

    Min kollega Carsten Cramon fortalte mig om følgende problem, som jeg hermed giver videre.

    På en ø findes på et vist tidspunkt 3 slags kamæleoner: 15 røde, 17 grønne og 19 blå.

    Hvis to ensfarvede kamæleoner mødes, sker der ikke noget, men mødes to forskelligfarvede, bliver de så forskrækkede, at de begge skifter til den tredie farve.

    Kan det ske, at alle kamæleonerne får samme farve ?

    [ Hovedmenu ]

    Fåret og ulven

    I centrum af en cirkulær sø svømmer et får. På søbredden går en sulten ulv. På land løber dyrene lige hurtigt, men ulven løber 4 gange så hurtigt, som fåret kan svømme. Kan fåret redde livet?

    En nærliggende strategi (men muligvis ikke den optimale) kunne være at holde sig så langt fra ulven som muligt, altså diametralt modsat ulven.
    Vi regner på det og sætter

    I et koordinatsystem med orogo i søens centrum er begyndelsessituationen

    Lad os sige, at ulven begynder at løbe langs søbredden med farten 4 i positiv omløbsretning. I polære koordinater er

    Når fåret er i punktet r®(t) = r(t)f(t), er dets tangentialhastighed 4· r(t), så det det holder sig diametralt modsat ulven. Da dets samlede hastighed er 1, er radialhastigheden

    Integralet på venstre side kan løses v.h.a. substitutionen sin(u) = 4· r(t), og vi får løsningen

    Den valgte strategi bringer altså fåret 3 / 4 fra bredden i løbet at p / 8 tidsenheder.

    Nu skifter fåret strategi og svømmer direkte i land (3 / 4 tidsenheder). Ulven skal løbe en halv omgang, så fåret får et forspring på p / 4 – 3 / 4 tidsenheder.

    Mon den valgte dobbelte strategi er den bedst mulige ?

    [ Hovedmenu ] [ Tilbage til hovedsiden ]