Solur

Når man om natten betragter himlen, kan man let få indtryk af at befinde sig i centrum af en kugle - himmelkuglen - på hvis inderside stjerner og andre himmellegemer er malet som lysende punkter. Kuglen roterer (tilsyneladende) én omdrejning i døgnet fra Øst mod Vest (solen og stjernerne står op i Øst, kulminerer i Syd og går ned i Vest). I det følgende indfører vi 2 astronomiske koordinatsystemer til beskrivelse af solens og andre himmellegemers positioner på himlen.

Emner

• Koordinatsystemer på himlen
• Sand soltid og middelsoltid
• Solursgeometri
• Solurskurver
• Vandret solur
• Links

Koordinatsystemer på himlen

Højde - Azimuth - systemet
I det mest oplagte system er højden simpelthen solens vinkelafstand lodret over Horisonten. Den måles i grader fra 0 på Horisonten til 90 i Zenith lodret over observationsstedet. Højdecirklen er halv storcirklen gennem Zenith og solen til Nadir - diametralt modsat Zenith. Dens skæringspunkt med Horisonten bestemmer systemets anden koordinat Azimuth, som er vinklen fra Syd til skæringspunktet. Azimuth måles i grader - positiv mod Vest. Altså: når solen står op, er h(øjden) = 0 og Az(imuth) negativ. Ved middag (kulmination) er h maximal og Az = 0. Når den går ned, er h = 0 og Az positiv. En beskrivelse af solens bevægelse gennem en dag i dette intuitive system er ubekvem, fordi begge koordinater ændrer sig. Derfor indfører man

Deklination - Timevinkel - systemet
Himmelkuglens daglige rotation foregår om en akse - Verdensaksen - gennem jorden og himlens Nordpol (Np), som ligger i nærheden af stjernen Polaris i den lille bjørn. I (h, Az) systemet har Np koordinaterne (φ, 180), hvor φ er stedets geografiske bredde (som somme tider kaldes stedets polhøjde). I lighed med jordens ækvator kalder vi den storcirkel på himmelkuglen, der står vinkelret på Verdensaksen for (himlens) Ækvator. Under den daglige rotation vil et punkt på himmelkuglen beskrive en lillecirkel parallel med Ækvator. Storcirklen gennem Np og Zenith kaldes (stedets) Meridian. Når en stjerne kulminerer, passerer den meridianen.

I (δ, τ) - systemet svarer Ækvator til (h, Az) - systemets Horisont og t(imevinklen) til Az. Deklinationscirklen er følgelig en halv storcirkel fra Np gennem solen til himlen Sydpol, og δ er vinklen i grader fra deklinationscirklens skæringspunkt med Ækvator til solen regnet positiv mod Np. τ er vinklen mellem Meridianens og deklinationscirklens skæringspunkter med Ækvator. t regnes positiv mod Vest (som Az) og måles i timer. Da der går 24 timer på 360°, svarer 1 time til 15°. I en astronomisk almanak kan man finde solens deklination på forskellige datoer året igennem.

Når vi skal regne på solens skygge, vil vi tage udgangspunkt i solens (δ, τ) - koordinater og regne dem om til (h, Az) - værdier, som derefter kan omsættes til skyggepunkter i et solur.

Vi vil beskrive forholdene i et koordinatsystem med begyndelsespunkt O, 1-akse mod vest (betragteren), 2-akse mod syd og 3-akse lodret opad mod zenith. I dette system er meridianplanen = y - z - planen. Solen bevæger sig på en lillecirkel med centrum C, og radius |C Ss| = cosδ. Den kulminerer i syd i punktet Ss og står lavest i nord i punktet Sn.

I dette koordinatsystem har solen koordinaterne (cosh sinAz, cosh cosAz, sinh).

Da polhøjden er lig stedets bredde φ, er Np = (0 , –cosφ , sinφ), og Æs = (0 , sinφ , cosφ).

Da ∩ÆSs = δ, er |OC| = sinδ, så C = (0 , –cosφ sinδ , sinφ sinδ) .

Da ∩ÆSs = δ, er |CSs| = cosδ, så CSs^→ = (0 , sinφ cosδ , cosφ cosδ).

Solens position er bestemt ved parameterfremstillingen
OS^→ = OC^→ + CS^→ = OC^→ + (cosδ , 0 , 0) sinτ + CSs^→ cosτ =
(cosδ sinτ , –cosφ sinδ + sinφ cosδ cosτ , sinφ sinδ + cosφ cosδ cosτ), altså

(1)   (x_S, y_S, z_S) = (cosδ sinτ , –cosφ sinδ + sinφ cosδ cosτ , sinφ sinδ + cosφ cosδ cosτ)

I traditionel astronomi udtrykkes disse relationer ofte ved

sin h = sinφ sinδ + cosφ cosδ cosτ


tan Az =

cosδ sinτ –cosφ sinδ + sinφ cosδ cosτ

Ændr værdierne for bredde φ, deklination δ eller timevinkel τ og klik uden for boksen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Sand soltid og middelsoltid

I almanakken ser vi, solen kulminerer i Syd kl. 12t 13m den 1. jan. i København. I Randers sker alting 10 min senere, da Randers ligger 2.5 grad vest for København. Solen er altså 13 respektive 23 minutter bag efter vore ure. Den 1. nov. er solen 7 min. foran i København og 3 min. bagefter i Randers. Afvigelsen kaldes Tidsækvationen og hænger sammen med, at jorden ikke går i en jævn cirkelbevægelse omkring solen. Sand soltid (sst), defineret som solens timevinkel + 12 timer, forløber altså ikke jævnt året igennem. Jævner man puklerne ud, får man Middelsoltiden (mst), som er den tid, vore ure følger. Tidsækvationen (t_ækv) defineres ved

δt = t_ækv = sst – mst .

Graf for tidsækvationen

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Solursgeometri

De følgende overvejelser knytter sig til et sædvanligt 3-retvinklet koordinatsystem - 0 , i^→, j^→, k^→ -, der ligger fast på jorden. Vi lader x-aksen pege mod Vest, y-aksen mod Syd og z-aksen mod Zenith. Skyggegiverens spids (gnomon) ligger i Origo(0, 0, 0), så vi kun behøver at interssere os for solstråler gennem Origo. Under den daglige bevægelse beskriver solen en lillecirkel parallel med Ækvator, så de interessante solstråler danner en kegleflade. Denne kegleflades skæringskurve med solursfladen kaldes en daglinie. I dagens løb vil skyggen bevæge sig langs en daglinie. Forbinder vi de punkter på daglinierne, der svarer til samme tidspunkt, fås timelinier. Et solur indeholder altså to sæt kurver - ét for datoer - ét for timer.

Kender vi solens h og Az, kan vi i stedet for at benytte (1) beregne dens (3d)-koordinater på følgende måde.

Da h er vinklen mellem solstrålen og x-y-planen, er z = sin(h) , og afstanden mellem Origo og solens projektion Sp på x-y-planen = cos(h). Da yderligere vinklen Syd - Origo - Sp = Az , har vi

(2)   x_S = cos(h)sin(Az) , y_S = cos(h)cos(Az) , z_S = sin(h).

Plane solure

Den plan, kurverne skal tegnes på fastlægges ved, at den indeholder punktet P₀ = (x₀, y₀, z₀), og at vektoren OP₀^→ er normal til planen. Man kan forstille sig en plade med en vinkelret opstander (skyggegiver) af længde |OP₀| = l₀ hængslet, så den kan dreje sig frit omkring Origo. Er z₀ = 0 , har vi et lodret solur. Er x₀ = y₀ = 0 , har vi et vandret.
Planens ligning bliver

(x – x₀)x₀ + (y – y₀)y₀ + (z – z₀)z₀ = 0   eller
(3)   x · x₀ + y · y₀ + z · z₀ = x₀ · x₀ + y₀ · y₀ + z₀ · z₀ = l₀².

Vi får brug for et lokalt koordinatsystem i solursplanen til at beskrive kurverne i. Det fastlægger vi på følgende måde. Dets Origo ligger i P₀ og dets x-akse skal være vinkelret på både OP₀^→ og verdenssystemets z-akse. Heraf følger, at x-aksen naturligt defineres ved retningen af OP₀^→ x k^→ = (x₀, y₀, z₀) x (0, 0, 1) = (y₀, –x₀, 0). En enhedsvektor i denne retning er

e_x^→ = (y₀, –x₀, 0) / l₁   hvor   l₁ = √(x₀x₀ + y₀y₀).

Det lokale koordinatsystems y-akses retning fastlægges i konsekvens heraf ved
e_x^→ x OP₀^→ = (y₀, –x₀, 0) / l₁ x (x₀, y₀, z₀) = (–x₀z₀, –y₀z₀, x₀x₀+y₀y₀) / l₁. En enhedsvektor i denne retning er

e_y^→ = (–x₀z₀, –y₀z₀, x₀x₀+y₀y₀) / (l₀ · l₁)   hvor   l₀ = →(x₀²+ y₀²+z₀²) og l₁ = √(x₀²+ y₀²).

e_x^→ = (1, 0, 0)   og   e_y^→ = (0, 1, 0) .

Hvis et punkt P(x, y, z) ligger i solursplanen, kan dets lokale koordinater (X, Y) ved at prikke OP^→ med h.h.v. e_x^→ og e_y^→. Det giver

(4)   X = (x · y₀ – y · x₀) / l₁ og Y = (x₀(z · x₀ – x · z₀) + y₀(z · y₀ – y · z₀)) / (l₀ · l₁)

Nu mangler vi blot at finde solstrålens skæringspunkt med solursplanen i verdenskoordinater. En solstråle gennem skyggegiveren kan beskrives ved parameterfremstillingen

(5)   OP^→ = k · OS^→   hvor   k ∈ R ,   eller   (x, y, z) = k · (x_S, y_S, z_S)

hvor solens koordinater er bestemt ved (1) eller (2). Strålens skæringspunkt med solursplanen findes ved at indsætte (5) i planens ligning (3). vi finder

(6)   k = l₀² / (x_S · x₀ + y_S · y₀ + z_S · z₀)

Vi bemærker, at hvis prikproduktet i nævneren er = 0, er solstrålen parallel med solursplanen, og der er ingen skæring. Er prikproduktet > 0, står solen "bag" soluret, så også dette tilfælde er uinteressant.

Når vi skal finde et solurspunkt, svarende til en solposition, givet ved deklination og timevinkel, går vi frem på følgende måde:

Pseudoalgoritme
1. Find S(x_S, y_S, z_S) af (1) eller (2)
2. Find k af (6)
3. Er k >= 0 så
     Returner "ikke fundet"
   Ellers
     Find P(x, y, z) af (5)
     Find X og Y af (4)
     Returner "fundet"
   SlutHvis

Støttepunkter til en daglinie fås ved at anvende algoritmen på et antal solpositioner med samme deklination. Timelinierne fås ved at holde timevinklen fast og variere deklinationen.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Solurskurver

Ønsker man et vandret solur, sættes f.eks. (x₀, y₀, z₀) = (0, 0, –40). Skal uret derimod sidde på en lodret sydvendt flade, sættes f.eks. (x₀, y₀, z₀) = (0, –40, 0). Vender fladen med sydvest anvendes f.eks. (x₀, y₀, z₀) = (–30, –30, 0).

Indtast værdierne for bredde φ og (x₀, y₀, z₀) og klik på Ok for at få timelinier (grønne) og daglinier (blå). Øverst til venstre på tegningen ses l₀. Skyggegiveren placeres i den lille cirkel på figuren.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Vandret solur

Her er en konstruktionsvejledning til et vandret solur. Størrelsen kan være alt fra et A4 - ark i vindueskarmen til en fodboldbane.

Når punkterne er markerede på plænen / papiret, forbindes "sommerpunkterne" til en hyperbelgren, "jævndøgnspunkterne" til en ret linie og "vinterpunkterne" til en anden hyperbelgren. Skyggen vil følge disse kurver ved henholdsvis sommersolhverv, jævndøgn og vintersolhverv.

Så tegnes 13 rette linier gennem punkterne for kl. 6 til kl. 18. Nord for jævndøgnslinien skrives tallene fra 6 til 18 på linierne fra vest mod øst. Syd for liniens skrives tallene fra 7 til 19. På den måde tager vi højde for sommertid.

Dette solur viser sand soltid (ved 15° østlig længde). For at finde middeleuropæisk tid (som vore ure går efter), skal den aflæste sande soltid korrigeres for tidsækvationen. Det gøres lettest ved at kopiere denne grafik, og f.eks. placere den på skyggegiveren.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Links

Min side om Astronomi

Min side om Astrolabiet

Solursside fra Midtfyns Gymnasium

Tysk side om vandrette solure

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]