Her er et program, der kan finde stamfunktioner til "alle" funktioner.er en alternativ fremstilling af differentialregningen.
Vi ser på funktioner i nærheden af x. og indfører en særlig OK - klasse af "pæne" funktioner.
Andet
Vi tænker os, at der ud over de reelle tal R findes en "uendelig" lille størrelse ε. Den fastlægges ved
En særegen egenskab ved ε er, at der gælder
Bevis: Lad r være et tilfældigt tal i R+. Af ε's egenskaber følger, at –r / abs(a) < ε < r / abs(a) eller –r < a · ε < r. Sætningen følger af regnereglerne for uligheder.
Klassen OK består af funktioner o(h), hvis grafer går "pænt" gennem (0, 0). Et "lille" stykke ved siden af 0 må funktionsværdien være "lille". Man siger, at o(h) er kontinuert i h = 0. Vi kræver, at
Eksempler på funktioner i OK
At a1h + a2h2 + ... + anhn ∈ OK følger direkte af ε's egenskaber.
Lad 0 < r < 1 og a > 0. Der gælder
Det ses, at ah – 1 er en o- funktion.
Er o , o1 og o2 ∈ OK gælder
| Desuden findes for a ≠ 0 en funktion o1, så | 1 a + o |
= | 1 a |
– o1 |
En funktion f(x) kaldes kontinuert i x, hvis der findes en o-funktion så
Kravet betyder, at f(x + h) – f(x) er "lille", hvis h er "lille", så grafen for f "hænger sammen" i en omegn af grafpunktet (x, f(x)).
Er f og g kontinuerte i x, gælder
f(x + h) = f(x) + o1(h) og g(x + h) = g(x) + o2(h),
og dermed
f(x + h) ± g(x + h) = f(x)
± g(x) + o1(h) ±
o2(h) =
f(x) ± g(x) + o(h).
Desuden er f(x + h) · g(x + h) = (f(x) + o1(h)) ·
(g(x) + o2(h)) =
f(x) · g(x) + f(x) · o2(h)
+ g(x) · o1(h) + o1(h) · o2(h) =
f(x) · g(x) + o(h).
| For g(x) ≠ 0 gælder | f(x + h) g(x + h) |
= | f(x) + o1(h) g(x) + o2(h) |
= | f(x) g(x) + o2(h) |
+ | o1(h) g(x) + o2(h) |
= | f(x) g(x) |
+ o(h). |
Vi har altså følgende sætninger
Gennem grafpunktet (x0, f(x0)) kan der tegnes mange rette linier.
Deres ligninger er l(x) = a(x – x0) + f(x0). De adskiller sig
ved deres hældningskoefficienter a.
Et "lille" stykke h ved siden af
x0 er forskellen mellem funktionsværdierne
f(x0 + h) – l(x0 + h) = f(x0 + h) –
[ a(x0 + h – x0) + f(x0) ] =
f(x0 + h) –
f(x0) – a h = o(h) – a h = o1(h),
hvis f(x) er kontinuert i x0.
Hvis der i mængden af rette linier gennem (x0,
f(x0)) findes én, så forskellen kan skrives
f(x0 + h) –
f(x0) – a h = h · o(h),
kaldes den tangenten til grafen,
og f kaldes differentiabel i punktet.
Tangentens hældningskoefficient i punktet (x0, f(x0))
kaldes traditionelt f '(x0).
For differentiable funktioner gælder altså
Vi ser, at f(x + h) – f(x) = f '(x) · h + h · o(h) = o1(h), så differentiabilitet medfører kontinuitet.
Desuden ser vi, at f(x + h) – f(x) har samme fortegn som f '(x) · h, så
Der er er tradition for at kalde df(x) = f '(x) · h for funktionens differentiale og f '(x) = df(x) / h for funktionens differentialkvotient.
Er f og g differentiable i x, gælder
f(x + h) = f(x) + f '(x) · h + h · o1(h) og g(x + h) = g(x) + g'(x) · h + h · o2(h)
f(x + h) · g(x + h) = (f(x) + f '(x) · h + h · o1(h)) ·
(g(x) + g'(x) · h + h · o2(h)) =
f(x) · g(x) + (f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)) · h + (f(x) · o2(h) +
g(x) · o1(h)) · h + h2 · o1(h) · o2(h) =
f(x) · g(x) + (f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)) · h + h · o(h).
Er g(x) ≠ 0, har vi med G(x) = 1 / g(x) ifølge tilnærmelses formlen for 1 / (a + h)
| G(x + h) = | 1 g(x + h) |
= | 1 g(x) + g'(x) · h + h · o(h) |
= | 1 g(x) |
– h | g'(x) + o(h) g(x)2 |
= G(x) | – h | g'(x) g(x)2 |
+ h o1(h). |
| ( | 1 g(x) |
) | ' |
= | –g'(x) g(x)2 |
Ved hjælp af reciproksætningen kan vi differentiere f(x) / g(x) for g(x) ≠ 0
| ( | f(x) g(x) |
) | ' |
= | ( | f(x) · | 1 g(x) |
) | ' |
= | f '(x) g(x) |
– | f(x) · g'(x) g(x)2 |
= | f '(x) · g(x) – f(x) · g'(x) g(x)2 |
Er g(x) differentiabel i og f(y) differentiabel i y = g(x), er
f(g(x + h)) = f(g(x) + g'(x) · h + h · o(h)) = f(y + h1) =
f(y) + f '(y) · h1 + h1 · o(h1) =
f(g(x)) + f '(g(x)) · (g'(x) · h + h · o(h)) + h1 · o(h1)
= f(g(x)) + f '(g(x)) · g'(x) · h + h2 · o(h2).
Vi finder
så f(x) = ax + b er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (ax + b)' = a. Linien er sin egen tangent.
Vi finder
så f(x) = x2 er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (x2)' = 2x.
For at vise, at f(x) = √x er kontinuert for x > 0, sætter vi f(x + h) = f(x) + d eller √(x + h) = √x + d. Kvadrering giver
For at vise differentiabiliteten, ser vi på
Ved at "forlænge" med √(x + h) + √x får vi
| f(x + h) – f(x) = | (√(x + h) –
√x)(√(x + h) +
√x) √(x + h) + √x |
= | (x + h) – x √(x + h) + √x |
= | h 2√x + o(h) |
= h | 1 2√x |
+ h o1(h). |
For x > 0 er f(x) = √x differentiabel og f '(x) = (√x)' = 1 / 2√x
For n = 1, 2, 3, .... finder vi v.h.a. binomialudvikling
så for n = 1, 2, 3, .... er f(x) = xn er differentiabel i alle x (og dermed kontinuert), og f '(x) = (xn)' = nxn–1.
x–n. For n = 1, 2, 3, .... finder vi v.h.a. reciproksætningen for x ≠ 0, at
Vi har ifølge additionsformlerne
sin(x + h) = sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) = sin(x)[1 – h o(h)] + cos(x)[h + h o(h)] = sin(x) + cos(x) h + h o1(h).
cos(x + h) = cos(x) cos(h) – sin(x) sin(h) = cos(x)[1 – h o(h)] – sin(x)[h + h o(h)] = cos(x) – sin(x) h + h o1(h). Altså er
At finde stamfunktioner er "det modsatte" af at differentiere.
F(x) siges at være en stamfunktion til f(x) hvis
Sætter vi G(x) = F(x) + k, hvor k er et tal, er G'(x) = [F(x) + k]' = F'(x) + k' = f(x). Der gælder altså
Har f(x) én stamfunktion, har den "mange".
Lad F(x) og G(x) være to stamfunktioner til f(x), og lad H(x) = F(x) – G(x). Ved differentiation ser vi, at H'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0. Det betyder, at H(x) må være en konstant funktion d.v.s. et tal.
Geometrisk betyder det, at har man grafen for én stamfunktion F(x), får man graferne for de andre ved at parallelforskyde F-grafen langs 2-aksen.
En stamfunktion til f(x) kaldes også det ubestemte integral og skrives ∫ f(x) dx.
Her er et program, der kan finde stamfunktioner til "alle" funktioner.
Lad f(x) være kontinuert og f(x) > 0 i intervallet [a; b].
Uden videre diskussion tror vi på, at der findes et areal begrænset af grafen for f(x), 1-aksen og linierne x = a og x = b.
Lad A(x) være den del af arealet, der ligger mellem a og x.
Arealtilvæksten A(x + h) – A(x) er en smal strimmel af bredde h og højde ca. f(x). I del - intervallets endepunkter er strimlens højde f(x) og f(x + h) = f(x) + o(h), da f(x) er kontinuert. Vi sætter
Det betyder, at A(x) er differentiabel og A'(x) = f(x), så A(x) er en stamfunktion til f(x).
Er F(x) en tilfældig stamfunktion til f(x), findes et tal k, så A(x) = F(x) + k. A(a) = 0 giver, at k = –F(a) så, Areal = F(b) – F(a).
Der er traditon for forskellige skrivemåder: Areal = F(b) – F(a) = [ F(x) ]ab = ∫ab f(x) dx. Den sidste skal forstås på den måde, at arealet fremkommer som en Sum af rektangler med højde f(x) og bredde h = dx.
Roteres kurvestykket y = f(x), a ≤ x ≤ b en omgang omkring 1 - aksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Rumfanget mellem a og x kaldes V(x).
Rumfangstilvæksten V(x + h) – V(x) er en smal skive af tykkelse h og areal ca. πf(x)2. I del - intervallets endepunkter er skivens areal πf(x)2 og πf(x + h)2 = πf(x)2 + o(h), da πf(x)2 er kontinuert. Vi sætter
V(x) er altså en stamfunktion til πf(x)2, og det søgte rumfang bestemmes af
Vi søger arealet a(x) af en cirkel med radius x. Øges radius med h, øges arealet med en cirkelring med længde 2πx + o(h) og bredde h. Vi har altså
A(x) er altså en stamfunktion til 2πx, så A(x) = ∫2πxdx = πx2 + k. Arealet af en cirkel med radius r er
En kugle med radius r fremkommer ved at rotere grafen for f(x) = √(r2 – x2) én omgang omkring 1 - aksen. Dens rumfang bestemmes af
En kugle med radius x har overfladen O(x).
Forskellen mellem kugler med radius x og x + h er em kugleskal af tykkelse h.
Dette rumfang kan beregnes af fladen O(x) + o(h) og tykkelsen h.
Vi ser, V(x) er differentiabel og O(x) = V'(x) = 4 π x2. En kugle med radius r har altså overfladen
Vi søger et tilnærmet udtryk for √(1 + h) for "små" h - værdier og sætter √(1 + h) = 1 + ah + bh2 + .... Vi finder ved kvadrering
Funktionen h / (a + h) ∈ OK, da den for |h| < |a| kan omskrives på følgende måde (se f.eks. her):
| 1 a + h |
= | a a (a + h) |
= | (a + h) – h a (a + h) |
= | 1 a |
– | h a ( a + h ) |
= | 1 a |
– | h a2 |
+ | h2 a2 ( a + h ) |
= | 1 a |
– | h a2 |
+ | h2 a3 |
– | h3 a4 |
+ ... + | hn–1 an |
+ ... |
| f(h) = | h a + h |
= | h a |
– | h2 a2 |
+ | h3 a3 |
– | h4 a4 |
+ ... + | hn an |
+ ... |
Vi ser, at f(h) = o(h) .
 |
For små vinkler h er forskellen på
sin(h) og h marginal. Vi tillader os at sætte
|
| cos(h) = | √ |
1 – sin2(h) |
= | √ |
1 – (h – h o(h))2 |
= 1 – ½(h – h o(h))2 = 1 – h o1(h) |
[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]