Kædelinien

Dette projekt handler om at finde ud af hvilken kurve, en hængende kæde beskriver.

Grafen for   f(x)   =   s_x(e^x/s_x + e^–x/s_x) / 2

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Kædestykket fra O til P er kun påvirket af tyngden og en spænding i kæden. Lad spændingen i kæden i punktet P(x, y) være s^→ = (s_x, s_y). Da s^→ følger kurvens tangent, er s^→ = (s_x, 0) vandret i kurvens laveste punkt O. Da kæden er i hvile, er kræfterne i ligevægt. Det betyder, at det vandrette træk s_x i P er lig det vandrette træk i O.

(1)

sy sx

= y' .

Den vandrette del s_x er konstant, hvorimod den lodrette del s_y bærer kædestykket fra O til P. Det betyder, at s_y kan sættes lig buelængden fra O til P

(2)   sy =

∫

x 0

√

1 + (y')2

dx , som sammen med (1) giver

(3)   y' =

1 sx

∫

x 0

√

1 + (y')2

dx .

Ved differentiation af (3) fås

(4)   y" =

1 sx

√

1 + (y')2 .

Sættes y' = z , fås differentialligningen

(5)   sx

dz dx

=

√

1 + z2

eller ved separation

(6)   sx

dz √ 1 + z2

= dx .

For at integrere dette bruger vi en smart substitution

(7)   z =

et – e–t 2

hvoraf

dz =

et + e–t 2

dt   og

1 + z2 =

4 4

+

e2t + e–2t – 2 4

=

e2t + e–2t + 2 4

eller

√

1 + z2

=

et + e–t 2

Integrationen af (6) giver nu

(7)   x = sx

∫

dz √ 1 + z2

= sx

∫

2 et + e–t

et + e–t 2

dt = sx

∫

t dt = sx · t + konst .

I kurvens laveste punkt er x = 0 og z = y' = 0 , hvoraf t = 0, så konst = 0. Vi finder

(8)   t =

x sx

og

y' = z =

ex/sx – e–x/sx 2

, som uden videre integreres til

(9)   y = sx

∫

ex/sx – e–x/sx 2

dx = sx

ex/sx + e–x/sx 2

+ c .

Kurven kaldes kædelinien.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Funktionerne

sinh(x) =

ex – e–x 2

og   cosh(x) =

ex + e–x 2

kaldes henholdsvis sinus hyperbolsk og cosinus hyperbolsk.

Der gælder

• cosh²(x) – sinh²(x) = 1
• sinh'(x) = cosh(x)
• cosh'(x) = sinh(x)

[ Toppen af siden ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]