Gasfysik

En ideal gas er en samling partikler, der kun påvirker hinanden, når de støder sammen. Sammenstødene er elastiske, så den kinetiske energi og impulsen er bevarede under stødene.
Det er en erfaring, at en luftart langt fra fortætning er en god tilnærmelse til en ideal gas.

Emner

• Idealgasloven
• Kelvintemperaturen (absolut temperatur)
• Bevægeligt stempel
• Første lov : ΔU = Q + A
• Luftarters varmefylde   C_V og C_P
• Adiabatiske processer
• Reversible processer og irreversible

Arbejder af Boyle, Mariotte, Charles og GayLussac har vist, at en ideal gas tryk P, rumfang V, stofmængde n og absolut temperatur T følger idealgasloven

P · V = n · R · T = N · k · T,

På differentiel form siger gasloven

VdP + PdV = n R dT

Konstant tryk : PdV = n R dT
Konstant rumfang : VdP = n R dT
Konstant temperatur : PdV = – VdP.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Vi ser på et gasmolekyle i en kugleformet beholder med radius r. Molekylets masse er m, og dets fart er v. Når molekylet støder på væggen, springer det tilbage, som når man kaster en bold mod en væg. Indfaldsvinkel = udfaldsvinkel.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Molekylets bane bliver en række sammenhængende korder i kuglen. Er indfaldsvinklen i, bliver en kordes længde korde = 2 r cos(i). Med farten v er tiden mellem stødene mod væggen Δt = 2 r cos(i) v .

Når molekylet rammer væggen, ændres farten ikke, men hastigheden ændrer retning

Δv = 2 v cos(i),

og væggen oplever en kraftpåvirkning. Jævner vi den ud over tidsrummet Δt, bliver kraften

F = m

Δv Δt

= m

2 v cos(i) v 2 r cos(i)

= m

v2 r

.

Vi ser, at gennemsnitskraften på væggen er uafhængig af indfaldsvinklen.

Trykket P i beholderen er kraften pr. areal, så

P =

F 4πr 2

=

m v2 r 4πr 2

=

2 Ekin 3 4/3πr 3

=

2 Ekin 3 V

,

hvor kuglens rumfang V = 4/3πr ³. Vi ser, at

P · V =

2 3

Ekin.

Er der N molekyler i beholderen, vil de dels støde sammen med hinanden og med væggen. Kan vi antage, at de indbyrdes sammenstød er elastiske, vil de ikke ændre den gennemsnitlige kinetiske energi E_{kin, g}, og vi finder

P · V =

2 3

N Ekin, g.

Ved sammenligning med Gasloven P · V = N/N₀ R T, ser vi, at

Ekin, g =

3 R 2 N0

T,  så

Kelvin - temperaturen er et mål for molekylernes gennemsnitlige kinetiske energi.

Da den gennemsnitlige kinetiske energi ikke kan være mindre en 0, er 0°Kelvin den laveste tænkelige temperatur (det absolutte nulpunkt).

Støder gasmolekylet mod en fast væg, ændres farten (og dermed E_kin) ikke. Men er væggen et stempel i bevægelse imod molekylet, øges farten og E_kin ved stødet mod stemplet. Viger stemplet, aftager farten og E_kin, som når en tennisspiller "tager farten af bolden". Da temperaturen er proportional med E_{kin, g}, har vi her forklaringen på, at luften opvarmes ved sammenpresning.

På grafikken er v stemplets hastighed og i molekylets indfaldsvinkel.

Beklager; din browser kan ikke vise applets!

Er gassen indespærret i en cylinder med et stempel med areal a, oplever stemplet kraften F = P · a. Skubbes det stykket Δl ind i cylinderen, ændres rumfanget med ΔV = a · Δl. Omgivelserne udfører arbejdet ΔA = F · Δl = –P · ΔV på gassen.

Vi ser på en afgrænset luftmængde i en cylinder med et stempel.Første lov udtrykker, at energindholdet U kan ændres ved at tilføre varme Q eller arbejde A. Q og A skal altså regnes med fortegn; (+, hvis størrelsen tilføres gassen).

På differentiel form siger 1. lov:

dU = dQ + dA = dQ – PdV ,

fordi det tilførte arbejde er negativt, hvis gassen udvides.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Luftarters varmefylde   C_V og C_P

Hvis en gas tilføres varme, stiger temperaturen normalt. Går al den tilførte varme til at øge temperaturen (den gennemsnitlige kinetiske energi), taler man man om varmefylden C_V (varmefylden ved konstant rumfang).
Tillader vi derimod gassen at udvide sig, så trykket holdes konstant, går noget af den tilførte varme til at udføre et arbejde A = PΔV = n R ΔT på omgivelserne. I dette tilfælde kaldes varmefylden C_P (varmefylden ved konstant tryk).

For 1 mol gas finder vi

CV =

(

dQ dT

)

V

=

dU dT

og   CP =

(

dQ dT

)

P

=

dU dT

+ P

dV dT

= CV + R.

Er al energien kinetisk, er

U = Ekin = N0

3 R 2 N0

T =

3 2

R T,   så   CV =

3 2

R   og dermed

CP =

5 2

R .

Det forbløffende er, at alle luftarter skal have samme værdier for C_V og C_P. Og det stemmer meget godt for He, Ne, Ar, mens værdierne for f.eks. O₂, N₂ er ca. 5/2 R og 7/2 R henholdsvis.
Det hænger sammen med, at de første er enatomige molekyler, mens de sidste er toatomige. Enatomige molekylers energi er rent kinetisk, mens toatomige også kan rotere. Et enatomigt molekyles position bestemmes af 3 tal (3 koordinater), mens et toatomigt molekyle bestemmes af 5 tal (3 koordinater og to vinkler). Man siger, at enatomige og toatomige molekyler har henholdsvis 3 og 5 frihedsgrader. Tre- eller fleratomige molekyler har 6 frihedsgrader. Tror vi på, at energien gennemsnitligt er lige fordelt på frihedsgraderne, er konklusionen

En ideal gas med f frihedsgrader har   CV =

f 2

R   og   CP =

f + 2 2

R .

Ved mange anvendelser af gasfysik spiller størrelsen γ = C_P / C_V = (f + 2) / f en rolle. Atmosfærisk luft består helt væsentligst af O₂ og N₂, som begge er toatomige. Vi kan altså anvende værdien

γ_luft = 7 / 5 = 1.4 .

	Frihedsgrader	CV	γ = CP / CV
Enatomig gas	3	3 / 2 R	5 / 3 = 1.667
Toatomig gas	5	5 / 2 R	7 / 5 = 1.4
Fleratomig gas	6	6 / 2 R	8 / 6 = 1.333

For store fleratomige molekyler kan vibrationer bidrage til energien, hvilket bidrager til antallet af frihedsgrader og dermed til et yderligere fald i γ.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

er processer, hvor det ikke udveksles varme mellem gassen og omgivelserne. Det kan skyldes, at gassen er indesluttet i en isolerende beholder, eller at processen foregår så hurtigt, at der ikke er tid til at udveksles varme.

Første lov og gasloven giver for 1 mol gas

dU = –PdV = C_VdT   og   VdP + PdV = R dT.

Isolation af dT giver

dT =

–PdV CV

=

VdP + PdV R

eller

VdP = –PdV

CV + R CV

= –PdV · γ,   så

dP dV

= –

P V

γ.   Denne ligning løses af   P = konstant · V–γ   eller

P · V^γ = konstant .

I denne ligning kan vi ifølge ideagasloven erstatte P med n R T / V og V med n R T / P og får henholdsvis

T · V^γ–1 = konstant   og   T^γ · P^1–γ = konstant .

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ]

Fra min kogebog: At riste brød er let: når det oser, skal det have 1 min. mindre!

Nogle (særlig enkle) processer er reversible d.v.s. de kan "gå begge veje". F. eks. er gasmolekylers elastske stød mod væggen eller hinanden reversible, mens opløsning af en dråbe blæk i et glas vand er en irreversibel proces.

For at få et indtryk af, om en proces er reversibel eller ej, kan man forestille sig processen optaget på video. Spilles videoen af blækforsøget baglæns, ses en sartblå væske, hvor farven langsomt samles i et punkt i overfladen, hvorfra der pludselig springer en dråbe op. Det ser usandsynligt ud. Men man skal se godt efter for at afgøre, om et klip fra en tenniskamp er spillet baglæns eller ej.

Vi ser nu på en beholder med rumfang 2V. Midt i beholderen er der et stempel, som afgrænser rumfanget V, hvor der er N gasmolekyler. Den anden halvdel er tom. Vi kan få gassen til at fylde hele beholderen ved ganske langsomt at flytte stemplet, så processen er reversibel. For at holde temperaturen konstant anbringes det hele i et vandbad.

Ifølge første lov er ΔU = Q + A = 0, da temperaturen (og dermed energien) er konstant, så

Qrev = –A =

∫

2V V

P dV =

∫

2V V

N k T V

dV = (N k T ln(V)

)

2V V

= N k T ln(2) .

Men vi kan nå den samme sluttilstand (gassen jævnt fordelt i rumfanget 2V) ved med et snuptag at fjerne stemplet. Det vil ikke ændre temperaturen, da molekylerne ikke møder et vigende stempel; men kun den faste væg. Det kan naturligvis tænkes, at alle molekylerne på et eller andet tidspunkt befinder sig i den oprindelige halvdel, men sandsynligheden for at det sker er

P(N partikler i V) = ½^N

(hvert molekyle "slår plat og krone", om det er i den ene eller anden halvdel). Sandsynligheden for den jævne fordeling er altså 2^N gange så stor som sandsynligheden for starttilstanden med stemplet fjernet. Under processen vokser sandsynligheden med faktoren 2^N. Fysikere bruger k · logaritmen til sandsynlighedsforholdet som mål for, hvor "irreversibel" en proces er. De kalder det entropiændringen ΔS. Vi har altså

ΔS = k · ln(2^N) = k · N ln(2) .

Ved sammenligning med den reversible proces ser vi, at

ΔS =

Qrev T

.

Læg mærke til, at hvis vi ser på hele det reversible forsøg (gas, beholder, stempel og vandbad) er varmeoverførslen intern, så Q_{rev, total} = 0. D.v.s.

Reversibel proces:   ΔS = 0 .

For de enkelte delprocesser af en reversibel proces kan ΔS både være større og mindre end 0.

[ Hovedmenu ] [ Ordliste ] [ Tilbage til hovedsiden ]