Dette projekt er et forsøg på at formulere differential- og integralregning uden brug af grænseovergange. Prisen er, at vi må operere med 3 slags lighedstegn:
Andet
Vi tænker os, at der ud over de reelle tal R findes en "uendelig" lille størrelse h og en "uendelig" stor størrelse ∞. De fastlægges ved
Andre bogstaver står for reelle tal.
Hvis forskellen på to størrelser a og b højest er proportional med h, siger vi, at de er ens til første orden ( til anden orden, hvis forskellen højest er proportional med h2 (eller højere) ) og skriver
I madmatik gælder følgende regneregler
[ Toppen af siden ]
At en funktion er kontinuert vil (løst sagt) sige, at dens graf "hænger sammen". Det betyder, at små x-ændringer giver små f(x)-ændringer. Vi definerer
f(x) = a x2 + b x + c er kontinuert i x fordi
f(x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c = a x2 + 2axh + ah2 + bx + bh
+ c = f(x) + 2axh + ah2 + bh '=' f(x).
Vi skal vise, at √(x + h) '=' √x og sætter √(x + h) = √x + j(x). Kvadrering giver
x + h = x + j2(x) + 2√x j(x) eller j(x) [ j(x) + 2√x ] = h. Da j(x) + 2√x ikke kan være "lille", må j(x) '=' 0.
[ Toppen af siden ]
Gennem grafpunktet (x0, f(x0)) kan der tegnes mange linier. Deres ligninger er
l(x) = a(x – x0) + f(x0). Man kan sige, at de adskiller sig ved deres
hældningskoefficienter a.
Et "lille" stykke h ved siden af x0 er forskellen mellem funktionsværdierne
f(x0 + h) – l(x0 + h) = f(x0 + h) – [ a(x0 + h – x0) + f(x0) ] = f(x0 + h) – f(x0) – a h '=' 0,
hvis f(x) er kontinuert i x0.
Hvis der i mængden af linier gennem (x0, f(x0)) findes én, så forskellen
er lig nul til anden orden, altså
f(x0 + h) – f(x0) – a h "=" 0, kaldes den tangenten til grafen,
og f kaldes differentiabel i punktet.
Tangentens hældningskoefficient kaldes traditionelt f '(x0).
Er f(x) differentiabel i x, er f(x + h) '=' f(x), så differentiabilitet medfører kontinuitet.
f(x) = a x2 + b x + c er differentiabel i x fordi
f(x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c = a x2 + 2axh + ah2 + bx + bh
+ c = f(x) + 2axh + ah2 + bh så
f(x + h) – f(x) = 2axh + ah2 + bh = (2ax + b)h + ah2 "="
(2ax + b)h.
Vi ser, at f '(x) = (a x2 + b x + c)' = 2ax + b
Vi ser på √(x + h) – √x og "forlænger" med √(x + h) + √x.
| √(x + h) – √x = | [ √(x + h) –
√x ] [ √(x + h) +
√x ] √(x + h) + √x |
= | x + h – x √(x + h) + √x |
"=" | h 2 √x + h |
"=" | 1 2 √x |
h . |
Vi ser, at f '(x) = 1 / 2√x.
Vi antager, at f(x) og g(x) begge er differentiable, d.v.s f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h og tilsvarende for g(x). Vi finder
j(x + h) = f(x + h) g(x + h) "=" [ f(x) + f '(x) h ] [ g(x) + g'(x) h ] =
f(x) g(x) + f '(x) g(x) h + f(x) g'(x) h + f '(x) h g'(x) h "="
j(x) + [ f '(x) g(x) + f(x) g'(x) ] h .
Vi ser, at [ f(x) g(x) ]' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x).
Vi antager, at f(x) og g(x) ≠ 0 begge er differentiable, d.v.s f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h og tilsvarende for g(x). Vi finder
| j(x + h) – j(x) = | f(x + h) g(x + h) |
– | f(x) g(x) |
"=" | f(x) + f '(x) h g(x) + g'(x) h |
– | f(x) g(x) |
. |
Sætter vi på fælles brøkstreg, får vi
| j(x + h) – j(x) "=" | f(x) g(x) + f '(x) g(x) h – g(x) f(x) –
g'(x) f(x) h g(x) g(x) + g'(x) g(x) h |
= | [ f '(x) g(x) – g'(x) f(x) ] h g(x) g(x) + g'(x) g(x) h |
, |
så ifølge sætning 1
| j(x + h) – j(x) "=" | [ f '(x) g(x) – g'(x) f(x) ] h
g(x) g(x) |
. |
Vi ser, at
| ( | f(x) g(x) |
) | ' |
= | f '(x) g(x) – g'(x) f(x)
g2(x) |
. |
Vi antager, at g(x) er differentiabel i x og f(x) i g(x). D.v.s. g(x + h) "=" g(x) + g'(x)h og f(g(x) + h) "=" f(g(x)) + f '(g(x))h. Vi finder
j(x + h) = f(g(x + h)) "=" f(g(x) + g'(x) h) "=" f(g(x)) + f '(g(x)) g'(x) h, idet g'(x) h er h-størrelsen for f-funktionen.
Vi ser, at [ f(g(x)) ]' = f '(g(x)) g'(x).
[ Toppen af siden ]
At f(x) er voksende i intervallet [a; b] betyder, at funktionstilvæksten f(x + h) – f(x) og h har samme fortegn. Er funktionen aftagende i intervallet, er fortegnene forskellige. Det betyder, at [ f(x + h) – f(x) ] / h er positiv for voksende funktioner og negativ for aftagende.
Er funktionen differentiabel i intervallet, er f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h, hvoraf vi ser, at [ f(x + h) – f(x) ] / h og f '(x) har samme fortegn. Altså
Har f(x) ekstremun i x, er f(x) hverken voksende eller aftagende i noget interval omkring x. Så må f '(x) = 0.
Det omvendte gælder ikke: Har grafen for f(x) vandret vendetangent i x er f '(x) = 0 .
[ Toppen af siden ]
Asymptoter til grafen for f(x) er rette linier med den egenskab, at grafen og asymptoten ikke kan skelnes fra hinanden i det fjerne.
Vi deler dem i 3 slags
[ Toppen af siden ]
Lad f(x) være kontinuert og f(x) > 0 i intervallet [a; b].
Uden videre diskussion tror vi på, at der findes et areal begrænset af grafen for f(x), 1-aksen og linierne x = a og x = b.
Lad A(x) være den del af arealet, der ligger mellem a og x.
Arealtilvæksten A(x + h) – A(x) er en smal strimmel af bredde h og højde ca. f(x). "Fejlen" på højden er '=' 0, da f(x) er kontinuert. Sæter vi arealtilvæksten til f(x) · h, er "fejlen" på arealtilvæksten "=" 0, altså
Det betyder, at A(x) er differentiabel og A'(x) = f(x), så A(x) er en stamfunktion til f(x).
Er F(x) en tilfældig stamfunktion til f(x), findes et tal k, så A(x) = F(x) + k. A(a) = 0 giver, at k = –F(a) så, Areal = F(b) – F(a).
Der er traditon for forskellige skrivemåder: Areal = F(b) – F(a) = [ F(x) ]ab = ∫ab f(x) dx. Den sidste skal forstås på den måde, at arealet fremkommer som en Sum af rektangler med højde f(x) og bredde h = dx.
[ Toppen af siden ]
Bevis for regel 1 : For a ≠, 0 gælder: a · h '=' 0.
Lad r være et tilfældigt tal i R+. Af h's egenskaber følger,
at –r / abs(a) < h < r / abs(a) eller –r < a · h < r. Sætningen
følger af regnereglerne for uligheder.