Madmatik

Dette projekt er et forsøg på at formulere differential- og integralregning uden brug af grænseovergange. Prisen er, at vi må operere med 3 slags lighedstegn:

Emner

Andet

Ekstreme størrelser

Vi tænker os, at der ud over de reelle tal R findes en "uendelig" lille størrelse h og en "uendelig" stor størrelse . De fastlægges ved

Andre bogstaver står for reelle tal.

Regneregler

Hvis forskellen på to størrelser a og b højest er proportional med h, siger vi, at de er ens til første orden ( til anden orden, hvis forskellen højest er proportional med h2 (eller højere) ) og skriver

I madmatik gælder følgende regneregler

Sætninger

[ Toppen af siden ]

Kontinuitet

At en funktion er kontinuert vil (løst sagt) sige, at dens graf "hænger sammen". Det betyder, at små x-ændringer giver små f(x)-ændringer. Vi definerer

f(x) = a x2 + b x + c

f(x) = a x2 + b x + c er kontinuert i x fordi
f(x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c = a x2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c = f(x) + 2axh + ah2 + bh '=' f(x).

f(x) = √x

Vi skal vise, at √(x + h) '=' √x og sætter √(x + h) = √x + j(x). Kvadrering giver

x + h = x + j2(x) + 2√x j(x) eller j(x) [ j(x) + 2√x ] = h. Da j(x) + 2√x ikke kan være "lille", må j(x) '=' 0.

[ Toppen af siden ]

Differentialregning

Gennem grafpunktet (x0, f(x0)) kan der tegnes mange linier. Deres ligninger er l(x) = a(x – x0) + f(x0). Man kan sige, at de adskiller sig ved deres hældningskoefficienter a.
Et "lille" stykke h ved siden af x0 er forskellen mellem funktionsværdierne
f(x0 + h) – l(x0 + h) = f(x0 + h) – [ a(x0 + h – x0) + f(x0) ] = f(x0 + h) – f(x0) – a h '=' 0, hvis f(x) er kontinuert i x0.

Hvis der i mængden af linier gennem (x0, f(x0)) findes én, så forskellen er lig nul til anden orden, altså f(x0 + h) – f(x0) – a h "=" 0, kaldes den tangenten til grafen, og f kaldes differentiabel i punktet.
Tangentens hældningskoefficient kaldes traditionelt f '(x0).

Er f(x) differentiabel i x, er f(x + h) '=' f(x), så differentiabilitet medfører kontinuitet.

f(x) = a x2 + b x + c

f(x) = a x2 + b x + c er differentiabel i x fordi
f(x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c = a x2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c = f(x) + 2axh + ah2 + bh
f(x + h) – f(x) = 2axh + ah2 + bh = (2ax + b)h + ah2 "=" (2ax + b)h.

Vi ser, at f '(x) = (a x2 + b x + c)' = 2ax + b

f(x) = √x

Vi ser på √(x + h) – √x og "forlænger" med √(x + h) + √x.

√(x + h) – √x = [ √(x + h) – √x ] [ √(x + h) + √x ]
√(x + h) + √x
= x + h – x
√(x + h) + √x
"=" h
2 √x + h
"=" 1
2 √x
h .

Vi ser, at f '(x) = 1 / 2√x.

j(x) = f(x) · g(x)

Vi antager, at f(x) og g(x) begge er differentiable, d.v.s f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h og tilsvarende for g(x). Vi finder

j(x + h) = f(x + h) g(x + h) "=" [ f(x) + f '(x) h ] [ g(x) + g'(x) h ] =
f(x) g(x) + f '(x) g(x) h + f(x) g'(x) h + f '(x) h g'(x) h "=" j(x) + [ f '(x) g(x) + f(x) g'(x) ] h .

Vi ser, at [ f(x) g(x) ]' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x).

j(x) = f(x) / g(x)

Vi antager, at f(x) og g(x) ≠ 0 begge er differentiable, d.v.s f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h og tilsvarende for g(x). Vi finder

j(x + h) – j(x) = f(x + h)
g(x + h)
f(x)
g(x)
"=" f(x) + f '(x) h
g(x) + g'(x) h
f(x)
g(x)
.

Sætter vi på fælles brøkstreg, får vi

j(x + h) – j(x) "=" f(x) g(x) + f '(x) g(x) h – g(x) f(x) – g'(x) f(x) h
g(x) g(x) + g'(x) g(x) h
= [ f '(x) g(x) – g'(x) f(x) ] h
g(x) g(x) + g'(x) g(x) h
,

så ifølge sætning 1

j(x + h) – j(x) "=" [ f '(x) g(x) – g'(x) f(x) ] h
g(x) g(x)
.

Vi ser, at

( f(x)
g(x)
) '


= f '(x) g(x) – g'(x) f(x)
g2(x)
.
j(x) = f(g(x))

Vi antager, at g(x) er differentiabel i x og f(x) i g(x). D.v.s. g(x + h) "=" g(x) + g'(x)h og f(g(x) + h) "=" f(g(x)) + f '(g(x))h. Vi finder

j(x + h) = f(g(x + h)) "=" f(g(x) + g'(x) h) "=" f(g(x)) + f '(g(x)) g'(x) h, idet g'(x) h er h-størrelsen for f-funktionen.

Vi ser, at [ f(g(x)) ]' = f '(g(x)) g'(x).

[ Toppen af siden ]

Monotoniforhold

At f(x) er voksende i intervallet [a; b] betyder, at funktionstilvæksten f(x + h) – f(x) og h har samme fortegn. Er funktionen aftagende i intervallet, er fortegnene forskellige. Det betyder, at [ f(x + h) – f(x) ] / h er positiv for voksende funktioner og negativ for aftagende.

Er funktionen differentiabel i intervallet, er f(x + h) "=" f(x) + f '(x)h, hvoraf vi ser, at [ f(x + h) – f(x) ] / h og f '(x) har samme fortegn. Altså

Har f(x) ekstremun i x, er f(x) hverken voksende eller aftagende i noget interval omkring x. Så må f '(x) = 0.

Det omvendte gælder ikke: Har grafen for f(x) vandret vendetangent i x er f '(x) = 0 .

[ Toppen af siden ]

Asymptoter

Asymptoter til grafen for f(x) er rette linier med den egenskab, at grafen og asymptoten ikke kan skelnes fra hinanden i det fjerne.

Vi deler dem i 3 slags

[ Toppen af siden ]

Areal og stamfunktion

Lad f(x) være kontinuert og f(x) > 0 i intervallet [a; b].

Uden videre diskussion tror vi på, at der findes et areal begrænset af grafen for f(x), 1-aksen og linierne x = a og x = b.

Lad A(x) være den del af arealet, der ligger mellem a og x.

Arealtilvæksten A(x + h) – A(x) er en smal strimmel af bredde h og højde ca. f(x). "Fejlen" på højden er '=' 0, da f(x) er kontinuert. Sæter vi arealtilvæksten til f(x) · h, er "fejlen" på arealtilvæksten "=" 0, altså

Det betyder, at A(x) er differentiabel og A'(x) = f(x), så A(x) er en stamfunktion til f(x).

Er F(x) en tilfældig stamfunktion til f(x), findes et tal k, så A(x) = F(x) + k. A(a) = 0 giver, at k = –F(a) så, Areal = F(b) – F(a).

Der er traditon for forskellige skrivemåder: Areal = F(b) – F(a) = [ F(x) ]ab = ∫ab f(x) dx. Den sidste skal forstås på den måde, at arealet fremkommer som en Sum af rektangler med højde f(x) og bredde h = dx.

[ Toppen af siden ]

Beviser

Regneregler

Bevis for regel 1 : For a ≠, 0 gælder: a · h '=' 0.
Lad r være et tilfældigt tal i R+. Af h's egenskaber følger, at –r / abs(a) < h < r / abs(a) eller –r < a · h < r. Sætningen følger af regnereglerne for uligheder.

[ Toppen af siden ] [ Tilbage til hovedsiden ]